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微积分的发现
当我们讲到牛顿时，必须要讲到牛顿时期的另外一个天才。莱布尼茨是历史上少见的通才，莱布尼兹出生于德国东部莱比锡的一个书香之家，父亲是莱比锡大学的道德哲学教授，母亲出生在一个教授家庭。莱布尼兹的父亲在他年仅6岁时便去世了，给他留下了丰富的藏书。莱布尼兹因此得以广泛接触古希腊罗马文化，阅读了许多著名学者的著作，由此而获得了坚实的文化功底和明确的学术目标。
15岁时，他进了莱比锡大学学习法律，一进校便跟上了大学二年级标准的人文学科的课程，还广泛阅读了培根、开普勒、伽利略、等人的著作，并对他们的著述进行深入的思考和评价。在听了教授讲授欧几里德的《几何原本》的课程后，莱布尼兹对数学产生了浓厚的兴趣。
17岁时他在耶拿大学学习了短时期的数学，并获得了哲学硕士学位。
20岁时，莱布尼兹转入阿尔特道夫大学。这一年，他发表了第一篇数学论文《论组合的艺术》。这是一篇关于数理逻辑的文章，其基本思想是出于想把理论的真理性论证归结于一种计算的结果。这篇论文虽不够成熟，但却闪耀着创新的智慧和数学才华。
莱布尼兹在阿尔特道夫大学获得博士学位后便投身外交界。从年开始，他利用外交活动开拓了与外界的广泛联系，尤以通信作为他获取外界信息、与人进行思想交流的一种主要方式。在出访巴黎时，莱布尼兹深受帕斯卡事迹的鼓舞，决心钻研高等数学，并研究了笛卡儿、费尔马、帕斯卡等人的著作。
莱布尼兹曾道，“我读‘数学’几乎就像是在读罗曼史”。他也在速成课程后不久写道，“不知道从何而来的鲁莽信心让我相信以我自己的能力，如果我想要的话，我能与他们相提并论。”
时间时年，莱布尼兹已经30岁了，但是他的能力却依旧保持在巅峰。无限小是了解特定瞬间运动的关键，像个谜团嘲笑着所有的数学家。在将近十年前，牛顿已经解开了这个谜团，并发明了现今所称的微积分。但是他未向他人提及，一直将此秘密保护起来。现在，在未察觉牛顿所为的情况下，莱布尼兹也开始朝相同的目标出发。
微积分学是研究极限、微分学、积分学和无穷级数等的一个数学分支，并成为了现代大学教育的重要组成部分。历史上，微积分曾经指无穷小的计算。更本质的讲，微积分学是一门研究变化的学问，正如：几何学是研究形状的学问、代数学是研究代数运算和解方程的学问一样。微积分学又称为“初等数学分析”。
微积分学在科学、经济学、计量金融学和工程学领域有广泛的应用，用来解决那些仅依靠代数学和几何学不能有效解决的问题。微积分学在代数学和几何学的基础上建立起来，主要包括微分学、积分学。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和斜率等均可用一套通用的符号进行演绎。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算长度、面积、体积等提供一套通用的方法。微积分基本定理指出，微分和不定积分互为逆运算，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们能以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中一般会先引入微分学。在更深的数学领域中，高等微积分学通常被称为分析学，并被定义为研究函数的科学，是高等数学的主要分支之一。
提出一个多远、多快、多高的问题，接着按下按钮，机器就会吐出答案。微积分轻易的发挥拍摄快照的效用——冻结任何特定时刻的动作。先前永远无法得到结果的问题，瞬间就得到了解释。比如高空跳水运动员落水瞬间的速度是多少？任意向空中鸣枪时子弹会达到何等高度？甚至，子弹返回地面时的速度是多少？
一位历史学家写到，微积分是“点石成金的哲人之石”，甚至夸赞道，“阿基米德的难题现在连画都省了就等解决了！”
我们每个人都能够知道，世界上大部分的变化都是稳定而连续的。而每当变化呈现平稳状态时，如船划过水面、子弹穿过空中、彗星横跨天际等，微积分便可以探索这类变化。采用新技术的科学家们谈论此事时，将旧有的方式与新技术相比，“就像是黎明时昏暗对比正午的光亮”。
莱布尼茨和牛顿都被普遍认为是独立的微积分发明者。牛顿最先将微积分应用到普通物理当中，而莱布尼茨创作了不少今天在微积分所使用的符号。牛顿、莱布尼茨都给出了微分、积分的基本规则，二阶与更高阶导数，近似多项式级数的记法等。在牛顿的时代，微积分基本定理是已知的事实。
当牛顿和莱布尼茨第一次发表各自的成果时，数学界就发明微积分的归属和优先权问题爆发一场旷日持久的大争论。牛顿最先得出结论，而莱布尼茨最先将其发表。牛顿称莱布尼茨从他未发表的手稿中盗取了想法，皇家学会的一些成员也跟牛顿持同一观点。这场大纷争将使数学家分成两派：一派是英国数学家，捍卫牛顿；另一派是欧洲大陆数学家。结果是对英国数学家不利。日后对牛顿和莱布尼茨的论文的小心检视，证实两人是独立得出自己的结论。莱布尼茨从积分推导，牛顿从微分推导。在今天，牛顿和莱布尼茨被誉为发明微积分的两个独立创始者。不过，“微积分”之名则是莱布尼茨所创。而牛顿将其成果称为“流数术”。
牛顿利用了微积分的技巧，由万有引力及运动定律出发说明了他的宇宙体系，解决天体运动，流体旋转的表面，地球的扁率，摆线上重物的运动等问题。
有很长一段时间，牛顿盒莱布尼兹彼此极为恭维对方。年，在距离莱布尼兹声称自己发明微积分近十年后，牛顿写了一封友好的信件给莱布尼兹，称赞他说“正如我在所有场合中提到的，（莱布尼兹）是本世纪最主要的几何学家之一”。而牛顿这位没有朋友的天才更宣称，“我重视我的朋友甚于数学发现”。
礼尚往来的莱布尼兹于年，在柏林皇宫的晚宴上，被普鲁士女王询问莱布尼兹有关牛顿的成绩事宜时。莱布尼兹回答说：“自从上帝创世以来，超过一半的数学成就在艾萨克（牛顿）爵士手中完成。”
但这些场面话都是假的！
多年来，彼此对立的两人极富心机的表面称赞、私下诋毁对方。两人都以匿名发表的方式详细而恶意的攻击对方，也都向同侪（是指与自己在年龄、地位、兴趣等方面相近的平辈。）低于辱骂和指责对方，并在听到自己造谣的内容时佯装震惊和失望。
牛顿一直认为多才多艺的莱布尼兹在数学上的表现只是半吊子，是一名兴趣在哲学和法律上的聪明初学者。莱布尼兹毫不怀疑牛顿的数学实力，但他认为，牛顿专注在一个特定而受限的领域。
到18世纪初，冲突公开爆发。在接下来的15年检，冲突越发激烈。两名该时代最伟大的思想家，紧抓着同一座金色奖杯不放，大声叫嚷着“这是我的！”两人都大发雷霆、愤怒且不愿放弃。他们不仅确信对方剽窃，更以诋毁造谣的方式加剧这项筹码。两人都身心敌人这么做的动机不过是出于想要获得赞誉的盲目欲望。
因为微积分是研究自然界的理想工具，两人的争辩一路同数学延伸到科学，再从科学到神学。对于旁人而言，什么是宇宙本质？怎样运用微积分的技巧问题解决实质？这些问题无人问津，但每个人都很享受两位知识巨匠的厮杀。更有甚者欧洲各地的王公贵族和英国皇室都加入了火线。一开始是哲学家之间的争议，后来便形成了如历史学家丹尼尔·布尔斯廷所说的“世纪奇观”。
经过了十年左右的相互毁谤，年莱布尼兹犯下了关键性的策略失误。他在寄给英国皇家学会的一封信中抱怨他所遭受的侮辱，并要求皇家学会一劳永逸的缕清微积分的争议。而时任皇家学会主席的正是牛顿本人。
这场戏剧就成为了牛顿任命了一个由“来自各国的有能力的多位绅士组成”的调查委员会。但实际上该委员会都是牛顿自己的人，然后该委员会发布的报告完全偏向牛顿。牛顿代表委员会发言道，“我们要问的不是这个或那个方法，而是找出第一个发明者”。
这份报告还质控，在多年前莱布尼兹曾私下窥见牛顿的数学论文。在那篇论文中，微积分被“充分描述”使得“任何聪明的人”都能掌握它的奥秘。换句话说，莱布尼兹不仅落后牛顿多年时间才发现微积分，他还是一名剽窃者。
牛顿曾在临终前与他人叙旧时提到了这段长期的争斗。他满意的提到自己“让莱布尼兹心碎”。
在数学史家搜罗出来两人的私人文件，找到明确的证据显示牛顿和莱布尼兹各自独立发现了微积分。牛村于年首度发现微积分，但过了几十年后才在年出版。莱布尼兹在牛顿之后9年发现微积分，但他受限在年发表他的研究成果。
莱布尼兹制定微积分的书写方式让其他数学家更容易理解，并做出下一步的发展。今日我们学习的是莱布尼兹发明的符号和语言。而牛顿的微积分在今日已成为博物馆的收藏。
神作现世
先前的数学先贤们总会做出像如今一样的举动，雷恩提供40先令的奖赏，大约相当于今日的美元，谁可以在两个月内找到答案，这笔钱就归谁。原本以为重赏之下必有勇夫，遗憾的是，没人拿到这笔钱。而他所提供的奖赏就是为了向要知道一个相关问题的答案——如果行星确实遵循距离平方反比定律，这将如何影响它们的轨道？这个问题实际上就是追问开普勒定律从而何来。而这时当时所有科学家们遭遇到的主要谜团之一。
雷恩是一名数学家，他曾承认自己多年来对此问题上遭遇的失败。娴熟的数学家哈雷（哈雷彗星以此人命名）向他的同伴坦诚，他试图找出答案但都是功亏一篑。
年8月，哈雷向牛顿提出这个问题。哈雷也是英国皇家学会内少数杰出而又伟大的人物。哈雷除了牛顿在数学领域的声誉，几乎一无所知。但是年仅28岁的哈雷，不仅是一名完美的外交官，跟谁都相处的来。也在数学与天文学领域做出了不俗的成绩。另外尤其重要的一点是，他几乎对所有的事情都倍感兴趣。为了能够打捞沉船宝藏他会发明潜水钟，并深入水中亲自测试；他会攀登上高峰比较山顶和平地的气压；也会调查世界上包括热带与冰冷的岛屿在内的广阔海洋。
现在，哈雷需要牛顿的帮忙。
当哈雷造访牛顿时，并倾诉了难道诸多科学家的问题——如果太阳吸引行星的力量遵循距离平方反比定律，那么行星的轨道该是什么形状呢？
令哈雷感到诧异的是，牛顿马上回答说形状会是椭圆形，并在哈雷惊奇的询问下得知，牛顿回答道“因为我计算出来了！”而哈雷要求阅读计算过程时，牛顿翻遍了论文回复道“已经遗失”。哈雷设法让牛顿再次推演并告诉哈雷本人。
在长达三个月的漫长等待后，牛顿终于寄送给哈雷一份长达9页，正式的拉丁文论文，题名为《论星体的轨道运行》。这篇论文的成就远远超过了对哈雷问题的解答。比如，开普勒发现行星运行的轨道是椭圆形，这点从来没有道理。这是一个“定律”，因为它符合史实，但它令人费解的是，为什么是椭圆形而非圆形或者其他的形状呢？现在牛顿提出了解释说明了为什么是椭圆形。他利用微积分为基础的参数表示初，如果行星运行的轨道是椭圆形，那么吸引它的力量必定遵循平方反比定律，反之亦然。如果行星遵循平方反比定律绕行一个固定的点，那么它的轨道一定是椭圆形。这是一项严格的数学史实。椭圆形和平方反比定律紧密相连。
牛顿也解开了开普勒第二定律的秘密。这项定律同样将无数的天文学家观测结果总结成一条简洁和神秘的规则——行星在相同的时间内扫过同等面积。牛顿在一片短文中推导出第二定律，就像他推导初第一定律一样，他使用的工具不是望远镜和六分仪，而是笔墨。他所做的只是假设某种力量将行星拉向太阳。牛顿就从这样简洁的陈述着手，证明开普勒定律是正确的。宇宙的奥秘现在有了秩序。
牛顿的发现让哈雷大为震惊，哈雷清醒的认识到，世界需要知道他的发现！生性极为谨慎的牛顿虽然同意了，但是他需要先自己润色一下他的原稿。
年4月，牛顿寄给了哈雷完整的手稿。他将9页的论文扩充为页的《数学原理》一书和余项定理、命题与推论。每项论点都是简洁而朴素的，没有一个多余的字，甚至连任何叮咛警语或鼓励捉襟见肘的读者的话语都没有。现在物理学家钱德拉塞卡仔细研究当中每项定理和证明后，赞叹道，“所有这些问题17个月的时间内被阐明、解决并依照逻辑顺序处理是超乎人所能理解的。它之所以被接受之因为这就是事实。”
《数学原理》包括导论和三个部分，亦第一卷、第二卷和第三卷。牛顿的导论从我们所知的牛顿三项命题开始。不同于开普勒定律是根据数以千计的具体事实所做的摘要，这些命题是有关自然行为总体的权威声明。例如，牛顿第三定律是著名的“每一项运动，都有相等但方向相反的反作用力”。第一卷主要处理抽象的数学，主题集中在诸如行星轨道和平方反比定律。
在第二卷中牛顿回到物理学并拆解主要包括笛卡尔在内的科学家的论点，笛卡尔曾试图描述某个机制造成了行星和其他天体运行。在此卷中所写的内容大部分是表明笛卡尔模型的错误之处。
然后就是注定让《数学原理》一书不朽的第三卷。
牛顿用一长串的数学论证形式发表他的杰作——《数学原理》，又称《自然哲学的数学原理》。在这本世界上最困难的几何教科书中，严肃的定理、证明和推论一个接着一个的出现，生硬的知道或者解释打造出这份毫无修饰的作品。贯穿这本书的基调是“冰冷漠然”，一个现代物理学家指出，“完全不与读者妥协”。
许多伟大的数学家几乎都像牛顿一样难懂。他们对绊倒身后的追随者不屑一顾。援引塞缪尔·约翰逊的言论作为自己的座右铭：“我已经为你找出论点，我没有责任让你了解这个论点。”有时候，展示成品、精炼修辞是出于审美的动机，就好像艺术家精心利用画格子的方式帮助他找到对的比例。但牛顿的情况不是如此。他特意“将《数学原理》一书写的深奥难懂”，他写道，这样他就不会被“对数学一知半解的人所打断”。弄不懂的人无从批评，至于能够理解他推理的人则将看大它的优点。
尽管牛顿对公开研究的信念保持敌意，他还是属于革命的阵营。这个极其不愿意公开研究的人，命中注定推动了科学戏剧化的进化，成为激发他人前仆后继投身科学的榜样。新一代的科学家使用日常语言谈论科学，并发表他们的研究成果供所有人阅读。他们认为自己这么做实在顶礼膜拜牛顿，后者若知道一定会讨厌他们。
如果不是哈雷的默默相助，《数学原理》第三卷可能永远不会问世。年5月22日，在牛顿交出第一卷和第二卷手稿后，哈雷鼓起勇气寄信给牛顿，告诉他一项让人不快的消息。哈雷写道，“还有一件事我应该知会你，那就是胡克先生主张引力减弱的法则有部分是他的发明……他说你的想法是由他而来的。”哈雷婉转的表达试图减轻这种说法对牛顿的打击，强调胡克的要求有限。胡克认为平方反比定律是他想出来的。他承认，他没有看出平方反比定律和椭圆形轨道之间的关联；这是牛顿一人的洞见。即便如此，哈雷写道：“胡克先生似乎期待你应该提到他的贡献。”
结果正好相反，牛顿一页页审阅《数学原理》，一见到胡克的名字便勤快的删掉。牛顿斥责胡克；“现在这情况是不是很棒？所有发现、动手解决并处理一切的数学家知能用乏味的计算工作满足自己，另一个人知会假装什么也不做，就将所有东西一把抓，并取走所有的发明。”牛顿继续咆哮道；“他什么也没做！”牛顿哀叹自己犯下了错误，那就是解释自己的想法却因此遭受攻击。他早就该知道这类事情的发生。“哲学（即科学）就是这么一位无礼而好争辩的女士，想要跟她在一起就会惹上麻烦！我早就发现这回事了，而她现在也警告我不要再次靠近她！”
牛顿越想越生气，认为删除胡克的名字方式不够强硬，于是告诉哈雷他决定不出版第三卷，哈雷赶紧安抚牛顿。毕竟无论是他本人、皇家学会还是知识界都不能少了牛顿的见解。
胡克是一位正在的天才，但是他还比不上牛顿。早在年，皇家学会就听到传言，据称有位年轻的剑桥数学家发明了一种新的望远镜。牛顿设计的望远镜仅有6英寸长，却比传统的6英尺长的望远镜功能更强大。皇家学会要求和他见面，牛顿送来的望远镜让学会成员诧异不已。
牛顿的声誉从此建立。这是牛顿第一次与皇家学会接触，学会立即邀请他加入。牛顿欣然接受。在这架望远镜得到新的改良之前，比牛顿年长7岁的胡克一直都是英国光学和镜片的权威。
在望远镜成果引起注意之后不到一个月的时间，牛顿接着又送给皇家学会有关白光的开创性论文。在胡克的领域，再一次被牛顿涉足，并留下了自己的标记。牛顿曾经公开表示，他对自己的发现当之无愧的感到较矮。关于他对白光是由所有颜色组成这一现象的示范，牛顿写到：“如果这称不上是大自然的运作到目前为止最可观的检测结果，至少也是最其他的。”
这篇论文被后世誉为科学界空前的里程碑之一，但在一开始却遭到主要来自胡克的大力阻拦。胡克声称，他做过所有相同的实验，与牛顿的不同之处在于他提出的是正确的解释。
两人从来未能和平共处，甚至当他们发现彼此被安排在一间屋子时，胡克会大步的走出房间。牛顿也持相同的敌意。更甚者，在胡克去世二十年后，牛顿听到他的名字还会发脾气。
在胡克于英国皇家学会之中让人维持举足轻重地位的那些年中，牛顿与皇家学会保持了距离。等到胡克于年过世，牛顿立刻接受了学会主席一职。大约也在同一时间，学会变迁到了新址，搬家的过程中唯一一副胡克肖像消失了。
