穿过迷雾，挖出深藏在旋转图形背后的圆

几何综合题中，点的运动轨迹问题往往又是一个难点，动点到底是沿什么样的轨迹？直线？曲线？这对理解动点运动原理提出了新的挑战，特别是在利用旋转构造的图形中，背后总有一个隐形的圆的存在，而轨迹，多半又和它有关。

题目

如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC.

(1)求∠A+∠C的度数；

(2)连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；

(3)若AB=1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE=BE+CE，求点E运动路径的长度.

解析

(1)四边形内角和为°，于是∠A+∠C=°，貌似这一小题非常简单，我开始也这样认为，但事实上不是，先卖个关子，后面再提；

(2)连接BD后，要探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，通常需要将这三条线段转换到“一块儿”，这个所谓“一块儿”，可能是同一条直线上，也可能在一个特殊三角形中，能想到这里，基本的解题经验就算不错，剩下的就是灵活运用了，这也是我们平时经常说的解题大方向要对。

仔细读题、观察图形，当我们连接BD时，另一条对角线AC，以及AB=BC，∠B=60°，这几个条件能让你联想到什么？如果想到等边三角形，恭喜你！上路了，如果进一步联想到可以利用等边三角形进行旋转变换，再恭喜你！思路正确！

顺时针或逆时针旋转，本题都能解出来，由于等边三角形每个内角都是60°，因此在旋转角的选择上，通常是60°的整数倍，本小题选择将△BCD绕点B逆时针旋转60°，辅助线作法也可写成以BD为边作等边三角形BDE，连接BE，DE，AE，如下图：

下面我们看看是否成功地将原来需要探究的三条线段AD，BD，CD转换过来了，由辅助线作法很容易可以证明图中一对蓝色三角形全等，于是CD=AE，转换了一条，再由等边△BDE，BD=DE，转换了两条，最后观察图中红色三角形，发现它们都被转换成它的三条边，那么这个三角形有什么特殊之处呢？很像一个直角三角形，确实，我们在第一小题中，已经知道∠A+∠C=°，同时经过全等三角形转换，∠C=∠BAE，于是顶点A处总共三个角，有两个角和为°，剩下的∠DAE=90°，结论显而易见，Rt△DAE，最后利用勾股定理得到结论：DE=AE+AD，将其中的DE和AE分别换成BD，CD，所以BD=CD+AD.

(3)让许多学生感到无从下手，充满迷雾的一小题，也是本题最难点，唯一感到有亲切感的就是上一小题的结论，那么，我们能不能也去寻找这样一个点E，使得AE，BE，CE恰好能构成一个直角三角形呢？

带着这样的疑问，我们重新审视题目中所有的条件，其实这也算是这类题干简单问题的特色，没有一句废话，每个条件背后都隐藏着更多条件。

连接AC得到等边三角形，以它作为旋转变换的基础，这一点是毋庸置疑的，在第二小题中，我们发现∠D大小虽然不变，但AD，CD两条边却有可能变化，许多不仔细思考的同学极易将△ACD看作含30°角的直角三角形，这错误太明显。点D不确定，但它所对的边AC长度却是固定的，AC=AB=1，在什么地方我们见过这种关系吗？圆啊！弦所对的圆周角啊！让我们在草稿纸上作一个这样的圆试试观察，如下图：

在这个图中，点D可以在优弧AC上任何一处，同时我们也注意到，弦AC的另一侧，劣弧AC上，任何一点可作圆周角，它的大小也是固定值°，更重要的是，这条劣弧在△ABC内部，当然也在四边形ABCD内部，这就是我们要找的点E吗？让我们再来试试，如下图：

我们以BC为弦构造一个圆I，也使这个圆I中，弦BC一侧的圆心角为30°，另一侧为°，这样便得到了一个和上图类似的劣弧BC，上面任意一点与B，C构成的圆周角∠BEC=°，同样在劣弧BC上找到一个点E，将△BCE绕点C顺时针旋转60°后，得到△ACG，再连接AE，EG，现在我们来看看此时的AE，BE，CE，它们分别可以由全等三角形和等边三角形转换，十分类似于第二小题，其中△BCE≌△ACG，等边△CEG都比较容易证明，结论自然也容易得到，于是任务完成了一半，找到了点E，剩下最后一个疑问，点E运动的轨迹是什么呢？如下图：

劣弧BC的长度即所求路径长度，而这条弧所对的圆心角为60°，弦长为1，接下来的计算相信应该比较容易，结果为π/3.

解题反思：

其实这道题的最后一小题，是对前面所有已解决问题方法的一次综合运用，第一小题作铺垫，后面所有构造直角三角形的时候均会用到它，第二小题是方法提炼，第三小题则是综合运用，同时对学生运用前面结论的要求比较高，已经摆脱了“模仿”境界，不真正理解前面探究线段数量关系的方法，第三小题无论如何也想不到。

这对我们平时的教学也提出了更高要求，通常习题课教学，先是例题，然后是变式，只是我们课堂上的变式往往都基于比较简单的变换，像这种深层运用，还是不多，所以对例题方法的讲解，如何更深入，把简单的方法讲透，的确不容易。